Matlab 数学建模基础

基础

Matlab界面

1. 当前文件夹：表示当前的工作目录，通过上面的路径栏可以修改

2. 命令行窗口：在命令行中输入命令。

3. 工作区：浏览已经定义的变量及数据

4. 工具栏

定义变量

示例

无需任何其他的关键字，使用等号即可完成赋值：

a = 1

如果没有指定变量名，则默认为 ans:

abs(10) % ans=10

命名规则

1. 区分大小写
2. 字母开头，由字母、数字和下划线组成

清空变量

变量定义后， matlab 会自动将其添加到工作区。若语句以分号结束，MATLAB 会执行计算，但不在命令行窗口中显示输出。

如果需要清除掉工作区的变量，可以使用下面的指令：

clear 变量名 % 清除单个
clear all % 清除所有
clc % 清除所有

注释和分段

使用 % 注释单行：

%123456

使用 %% 对内容进行分段：

%% 测试段1
a=1
b=2
%% 测试段2
c=3

数据类型

1. 数字
2. 字符与字符串
3. 矩阵
4. 元胞数组
5. 结构体

数字

定义复数：

10+5i

数字运算：

5+6
5-6
5*6
5/6
5%6
5^6

字符与字符串

定义字符：

c = 'h'
char(65) % 'A'

字符内部存储的是其 ascii 码，也就是数字，所以对字符做算术运算，相当于对其 ascii 码做算术运算：

c = 'h' + 'e' %205

定义字符串：

c = "str" % 定义字符串
length(c) % 获取长度

结构体

使用 struct 定义结构体：

s=struct("name","kaz","age",19) % 定义结构体
s.name % "kaz"

输入输出

使用 disp 函数来输出内容到控制台：

disp("hello world")

使用 input 函数来输入内容：

result = input(提示信息)

注意：输入内容和工作区的输入一致，即：

• 输入字符串需要使用引号
• 可以引用工作区的变量

流程语句

if-else 语句

if (条件式1)
  语句1; 
elseif (条件式2)
  语句 2; 
else
  语句;
end

switch 语句

注意，matlab 下的 switch 语句默认会 break

switch(分支变量)
case 值1
  语句1;
case 值2
  语句2;
otherwise 
  语句;
end

for 循环

注：终值会被访问

for 循环变量=初值:增量:终值
  循环体语句
end

while循环

1. 格式：

while (条件)
  循环体语句
end

2. 使用 break 语句终止循环

函数

函数文件和脚本文件

matlab 的文件以 .m 结尾，分为脚本文件(Script File)和函数文件(Function File)两种。

区别：

1. 脚本文件的变量是全局的，而函数文件中的变量是局部的。
2. 函数文件可以传参。

脚本文件示例：

disp("hello world!")

定义函数文件

matlab 通过函数文件来保存和执行函数。和其他语言不同的是，matlab 使用变量赋值的形式来保留返回值，而不是通过 return 语句（注意，matlab 仍然可以使用 return）。

function [输出变量]=函数名(输入参数)
  函数体语句

函数名称可以和文件名不一样，但如果不一致， matlab 以文件名为函数名称，所以原来的函数名称会被忽略掉。

函数句柄

函数本身也可以作为一个值来传递，要将函数作为值，可以使用：

@函数名称

匿名函数

当函数体比较短小时，可以使用匿名函数，而无需使用函数文件。

定义格式：

@(参数表)函数表达式

例如，定义函数$f(x)=2^x$

f=@(x)2^x

函数内两个特殊变量

1. nargin： 记录调用函数时输入变量个数；
2. nargout：记录调用函数时输出变量的个数。

例子（通过参数来计算表达式）：

function [f1,f2]=exam_arg(a,b,c)
if nargin==1
    f1=a;
elseif nargin==2 
    f1=(a+b)/2;
elseif nargin==3
    f1=(a+b+c)/3;
end
if nargout==0
  error('没有输出参数。');
elseif nargout==2
  f2='计算平均值';
end

绘图

坐标的表示

在 matlab 中，坐标的表示方法和平常数学中向量的表示方法可能有些不同。

一系列的点通常使用两个或三个数组来表示，例如

X=0:5
Y=1:6

这样，就得到了一系列坐标：

(0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)

如果要再加上一个 Z 坐标：

Z=:2:7

那么，坐标就是这样了：

(0,1,2) (1,2,3) (2,3,4) (3,4,5) (4,5,6) (5,6,7)

绘制二维图形

matlab 使用 plot 函数来绘制图形。

它的调用形式有多种：

plot(x,y)
plot(x,y, 选项) % 指定绘图标记
plot(x,y,选项,x,y,选项,...) % 同一幅图上绘制多条曲线

其中选项是绘图标记的字符串。

例：绘制$y=2x+1$ 的虚线

X = 1:100
plot(X,2*X+1,':')

根据函数和区间绘制图形

使用 fplot 绘图函数来根据函数绘制图形。它的格式

fplot(函数,定义区间,选项)

例：绘制$y=2x+1$ 的虚线

fplot(@(x)(2*x+1),[0,100],':')

绘制空间曲线

使用 plot3 函数来绘制空间曲线：

plot3(x1,y1,z1,选项1,…,xn,yn,zn,选项n)

例：绘制球的轮廓曲线

[X,Y,Z]=sphere(20)
plot3(X,Y,Z)

绘制多个图形

有时候需要一次性绘制多个图形，这时候可以使用 subplot 函数来指定接下来绘制的图形的位置：

subplot(总行数,总列数,格子号)

总行数和总列数是不需要完全一样的。

实例：

X=1:20
subplot(2,1,1)
plot(X,X.*2)
subplot(2,2,3)
plot(X,X.^3)
subplot(2,2,4)
plot(X,1./X)

绘制空间图形

1. 生成网格：

x=a:dx:b; 
y=c:dy:d;  
[X,Y]=meshgrid(x,y);

示例：生成x 为 0 1 2 3，y 为 4 5 上的网格。

这个网格上的所有点：

(0,4) (1,4) (2,4) (3,4)
(0,5) (1,5) (2,5) (3,5)

但在 matlab 中 X 和 Y 坐标是分开的：

X = [
  0 1 2 3; 
  0 1 2 3;
]
y = [
  4 4 4 4
  5 5 5 5
]

使用这个函数，来得到上面的 X,Y：

[X,Y]=meshgrid(0:3,4:5);

2. 绘制曲面的函数

mesh(x,y,z) %绘制网格图
surf(x,y,z) %绘制曲面图(填充网格)
contour(x,y,z) %绘制等高线图(平面图)
contour3(x,y,z) %绘制三维等高线图(空间图)

示例（绘制一个抛物面$z=x^2+y^2$）：

%% 生成网格
xa=-2:0.2:2;
ya=xa;
[x,y]=meshgrid(xa,ya);

z=x.^2+y.^2;
%% 绘制网格
subplot(2,2,1)
mesh(x,y,z); 
%% 填充网格
subplot(2,2,2)
surf(x,y,z);  
%% 绘制等高线图
subplot(2,2,3)
contour(x,y,z);  
%% 绘制等高线图
subplot(2,2,4)
contour3(x,y,z);  

添加其他内容

下面的函数可以为图形添加一些额外的信息

title(图形名称)
xlabel(x轴说明)
ylabel(y轴说明)

legend(图例1,图例2,...) % 默认按照绘图顺序
legend([plot对象,...]图例1,图例2,...) % 默认按照绘图顺序

p为 plot函数的返回值为 plot 对象构成的数组

示例：

X=0:20
p = plot(X,2*X+1,X,X.^2) % 返回
title("函数图像")
xlabel("x")
ylabel("y")
legend([p(1),p(2)], "y=2x+1","y=x^2")

除了这些函数，还有一些命令：

hold onloff %保留/释放现有图形;
figure/close %新开/关团图形窗口
grid on/off %画/不画网格线，不带参数的grid命令在两种状态之间进行切换。
box on/off %加/不加边框线，不带参数的box命令在两种状态之间进行切换。
axis on/off %显示/取消坐标轴
axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) %限定坐标轴范围

数组和矩阵

定义数组和矩阵

元素之间用逗号或者空格隔开，行之间用 ; 隔开。

A = [1 2 3] % 一个数组
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12] % 四行三列的矩阵

使用 zeros 函数定义零矩阵：

zeros(3,4) % 定义一个三行四列的零矩阵

同理，也可以使用 ones 生成一个全是1的矩阵

使用 : 可以快速创建一个递增的序列：

A = 1:0.1:2 % 创建 范围为 [1,2]，递增步长为0.1的序列
B = [1:3,2:4,3:5] % 创建一个三行三列的矩阵

使用 linspace 可以快速创建一个等差序列：

linspace(5,12,5) % 在 [5,12] 中等距离选取5个数字，结果：[5.0000,6.7500,8.5000,10.2500,12.0000]

使用 eye 定义单位矩阵：

eye(3) % 定义 3*3 的单位矩阵

使用 repmat 快速创建一个重复序列的矩阵：

rep(1:3,3,2) %1:3 序列横着重复两次，竖着重复三次

矩阵的大小

获取长度有 length 和 size 两种方法。

length(B) % 获取第一维度的大小 3
size(B) % 获取各个维度的大小 [3,3]

运算

元素运算

矩阵可以和数字、同型矩阵，或者行（列）数相同的列（行）向量进行计算。

A+A % 元素加法
A-A % 元素减法
A|A % 元素或运算
A&A % 元素与运算
~A % 元素非运算
A.*A % 元素点乘运算
A./B % 元素点除运算

例子：

B+B % 和同型矩阵进行运算，对应元素相加
B+[1 2 3] % 和行向量进行运算，结果第一列+1，第二列+2，第三列+3
B + 3 % 和整数进行运算，结果是所有元素+3

转置运算

在矩阵名后面加上 ' 即可实现转置：

A' % 转置

也可以使用 transpose 函数来转置：

transpose(A)

逆矩阵

注意：只有方阵才可以求逆，否则会报错

使用 inv 函数对矩阵求逆：

B = [1 2 3; 4 5 8; 7 8 9]
inv(B) % 求逆

乘法和除法

使用 * 对矩阵作乘法运算：

B*inv(B) % 得到单位矩阵

如果只是希望各个元素相乘，则使用 .*：

B.*B

使用 / 对矩阵作除法运算：

B/B % 相当于 B * inv(B)

同样的，也可以使用 ./ 对元素作除运算

求行列式的值

使用 det 函数可以求对应行列式的值：

det(B) % 12

秩

使用 rank 函数求矩阵的秩：

rank(B)

特征值

使用 eig 函数求矩阵的特征值：

[V D] = eig(B)

这个函数有两个返回值，其中 D 中的对角线上的元素为特征值，V 中对应的列向量为特征向量。

关系运算

介绍

矩阵可以和单个数字或者矩阵使用关系运算符，返回一个布尔矩阵。

B > 1 % 数字比较，则每个元素和1进行比较，返回布尔矩阵
B == [1,2,3;4,5,6;7,8,9] % 和矩阵比较，结果是对应位置上的元素进行比较
B >= [1,2,3;4,5,6;7,8,9]
B >= [1,2,3] % 和行向量比较，此时列的个数应该一致

any、all 和 find

• any 函数：若矩阵至少有一个数不为0，则返回1
• all 函数：若矩阵所有元素均不为0，则返回1
• find 函数：返回矩阵不为0的所有位置。

[x,y]=find(B>5) % 返回B中大于5的所有位置，其中x为各元素行的位置，y为各元素列的位置

过滤数组元素

借助 find 函数和切片可以过滤数组的元素。

例如：过滤 [1 2 3 4] 中的 3。

A= [1 2 3 4]
[x,y]=find(A ~= 3) % matlab 的不等于是 ~=
A=A(:,y)

访问和修改元素

使用 () 来访问元素。

注意：下标是从1开始

B(1,1)

除了传入一个整数，还可以使用数组来截取矩阵的一部分：

B(1:2,1:2) % 截取矩阵1-2行，1-2列的元素
B([1,3],[2,3]) % 截取矩阵1和3行，2和3列
B(1,:) % 取出第一行的所有元素

B(1:2,1:2) = 1 % 将矩阵1-2行，1-2列的元素赋值为1
B(1:2,1:2) = [5,6;7,8] % 将矩阵1-2行，1-2列的元素对应位置赋值为5,6,7,8

元胞数组

元胞数组和数组十分类似，但元胞数组可以存储任何数据类型。

C=cell(3,4) % 定义一个三行四列的元胞数组
C{3,1} = eye(4) % 给元胞数组中 (3,1) 的位置赋一个4*4的单位矩阵

函数和方程

多项式函数

介绍

在 matlab 中，一个多项式函数用一个系数降幂排列的向量来表示。

例如，$y=x^3+2x^2-5$，可以表示成 [1 2 0 -5]

求值

使用 polyval 来求一个多项式的值：

y=polyval(p,x)

x 可以是一个值，也可以是一个向量

例子：求$x=0$ 和$x=1$ 时，$y=x^3+2x^2-5$的值

polyval([1 2 0 -5],[0 1]) % [-5,-2]

乘除操作

对于人工来说，多项式的乘除操作比较复杂，这里有一个函数可以快速实现：

p3=conv(p1,p2) % 乘法
[p3,r]=deconv(p1,p2) %p3返回多项式p1除以p2的商，r返回余项

例子：

conv([1 1],[1 -1]) % [1 0 -1]
[p,r] = deconv([1 2 1],[1 1]) % p=[1 1] r=[0 0 0]

求根

使用 roots(p) 可以求取多项式的所有复数根。

x=roots(p)

求出来的根是复数的

多项式拟合

对于一些比较复杂的函数，可以将其用多项式进行拟合，返回拟合后的多项式向量。

p=polyfit(x,y,k) %用k次多项式拟合向量数据(x, y),返回多项式的降幂系数

附

常用的数学函数

三角函数

函数	功能	函数	功能
sin	正弦(弧度制)	cos	余弦(弧度制)
tan	正切(弧度制)	cot	余切(弧度制)
sec	正割(弧度制)	csc	余割(弧度制)
sind	正弦(角度制)	cosd	余弦(角度制)
tand	正切(角度制)	cotd	余切(角度制)
secd	正割(角度制)	cscd	余割(角度制)
asin	反正弦(弧度制)	acos	反余弦(弧度制)
atan	反正切(弧度制)	acot	反余切(弧度制)
asec	反正割(弧度制)	acsc	反余割(弧度制)
asind	反正弦(角度制)	acosd	反余弦(角度制)
atand	反正切(角度制)	acotd	反余切(角度制)
asecd	反正割(角度制)	acscd	反余割(角度制)

取整、取余和取模函数

函数	功能	函数	功能
fix	向0取整	floor	向-∞取整
ceil	向+∞取整	mod	模除求余
rem	除法余数	abs	绝对值(模）

复数函数

函数	功能	函数	功能
real	复数实部	imag	复数虚部
angle	复数幅角	conj	复数共轭

对数函数

函数	功能	函数	功能
log	自然对数ln	log10	以10为底对数

常用绘图标记

线型	点标记	颜色
- 实线(默认) : 虚线 -. 点划线 – 划线	. 点 o 圈 x 叉子 + 加号 * 星号 s 方块 d 菱形 ^ 朝上三角 v 朝下三角 > 朝右三角 < 朝左三角 p 五角形 h 六角形	b 蓝色(默认) m 棕色 c 青色 r 红色 g 绿色 y 黄色 w 白色 k 黑色